线段的垂直平分线

确定线段的中点

给定线段的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过计算得出线段的中点M的坐标。这个计算过程相当直观，中点M的坐标就是两个端点坐标的平均值。公式表达为：

M\\left(\\frac{x₁ + x₂}{2}, \\frac{y₁ + y₂}{2}\\right)

计算原线段的斜率

要理解一条线段的形状，斜率是一个重要的参数。原线段AB的斜率m可以通过两个端点的坐标来计算，公式为：

m = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}

这个公式告诉我们线段AB在水平方向上的移动与垂直方向上的移动的比例。

确定垂直平分线的斜率

垂直平分线是一条经过线段中点的线，并且与给定线段垂直。垂直平分线的斜率是其负倒数。如果原线段的斜率为m，那么垂直平分线的斜率就是-1/m。特殊情况包括：如果原线段是水平的（斜率为0），垂直平分线就是一条竖直线；如果原线段是垂直的（斜率无穷大），垂直平分线就是一条水平线。这样我们就可以通过已知的线段斜率计算出垂直平分线的斜率。

写出垂直平分线的方程

有了中点的坐标和垂直平分线的斜率，我们就可以写出垂直平分线的方程。采用点斜式方程，方程为：y - y_M = m_{\text{perp}} (x - x_M)，其中(x_M, y_M)是中点的坐标。通过一些简单的数学操作，我们可以将这个方程转化为标准形式。以例子中的线段AB为例，其垂直平分线的方程为：y = -\\frac{1}{2}x + \\frac{13}{2}。通过验证，我们发现这个方程确实满足条件：中点位于垂直平分线上，原线段与垂直平分线垂直，且垂直平分线上任何一点到线段两端点的距离相等。这就是我们的最终答案。